TRATAMIENTO DE ERRORES

En física se estudian diferentes modelos matemáticos que intentan explicar de modo aproximado cómo se comporta la naturaleza e intentar predecir las consecuencias en determinados experimentos. Si el modelo no falla en sus predicciones se va consolidando poco a poco en la teoría física. Sin embargo, desde el momento en el que falla se debe abandonar o, como mucho, limitar su aplicabilidad.

Sin embargo también pueden ser los experimentos los que fallen. No quiero decir, por supuesto, que la naturaleza se confunda y en vez de haber gravedad atractiva veamos como, al soltar una bolita, ésta escapa de la Tierra¹. Me refiero a que, cuando tomamos datos en un experimento, estos datos presentan cierta incertidumbre.

Cuando medimos una distancia con una regla milimetrada puede ocurrir que la distancia esté justo entre dos marcas del milímetro. Si medimos un voltaje con un polímetro podemos ver que este oscile entre dos valores. Por tanto, cada medida viene con un error intrínseco que en general se escribe como

$\displaystyle x\pm \delta x .$

Estos errores se tienen que tratar a la hora de realizar los informes de los experimentos y propagarlos a las cantidades que querramos determinar a partir de ellos. Por ejemplo, con una regla y un cronómetro podemos medir la distancia que recorrió un objeto y el tiempo que tardó, pero no medimos directamente su velocidad, por lo que el error en la velocidad vendrá dada a partir del error en la distancia y el error en el tiempo.

ERRORES ALEATORIOS

En ingeniería y física, el error aleatorio o accidental es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición. Se contrapone al concepto de error sistemático.

En un estudio de investigación, el error aleatorio o accidental viene determinado por el hecho de tomar sólo una muestra de una población para realizar inferencias. Puede disminuirse aumentando el tamaño de la muestra. Cuantificación:

Prueba de hipótesis
intervalo de confianza

Las fuentes de los errores aleatorios son difíciles de identificar o sus efectos no pueden corregirse del todo. Son numerosos y pequeños pero su acumulación hace que las medidas fluctúen alrededor de una media.

Resultado de imagen de errores accidentales en topografia

ERRORES SISTEMATICOS

En estadística, un error sistemático es aquel que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud. Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una particularidad del operador o del proceso de medición, etc. Se contrapone al concepto de error aleatorio.

En investigación clínica, un error sistemático se comete por equivocaciones en el proceso de diagnóstico o en el proceso de selección de pacientes:

Ámbito de selección (de dónde vienen los pacientes): Sesgo de selección.
Sesgo de diagnóstico
Presencia de factores de confusión: Sesgo de confusion.

Este error no tiende a cero al aumentar el tamaño de la muestra. Está implícito en el diseño del estudio, y resulta difícil de corregir en la fase analítica. Determina lo que se conoce como validez interna del estudio. Se puede prevenir su aparición a través de un buen diseño del estudio.

TIPOS DE MEDICIONES

M. DIRECTA:

Es aquella que se realiza aplicando un aparato para medir una magnitud, por ejemplo, medir una longitud con una cinta métrica.
Las medidas indirectas calculan elvalor de la medida mediante una fórmula (expresión matemática), previo cálculo de las magnitudes que intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo sería calcular el volumen de unahabitación.
Los instrumentos analógicos tienen, normalmente, una escala con divisiones frente a la que se mueve una aguja. En teoría la aguja pasa frente a los infinitos puntos de la escala.

M. INDIRECTA:

A veces no podemos medir directamente el valor de una magnitud y sólo podemos conocerlo utilizando una fórmula. El resultado obtenido mediante dicha fórmula también tiene una imprecisión quedependerá de la imprecisión con que conozcamos las magnitudes que intervienen en la fórmula.
Por lo tanto debemos conocer p

reviamente los valores de las magnitudes que intervienen en la fórmula y susimprecisiones.

Resultado de imagen de medicion directa en fisica

Resultado de imagen de medicion INDIRECTAen fisica

VALOR REAL DE UNA MEDICION

La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.

TIPOS DE ERRORES : ADSOLUTO,RELATIVOYPORCENTUAL

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:

E = P* - P

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

Error absoluto.

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:

EA = | P* - P |

Error relativo.

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Y el error relativo como

ER = | P* - P| / P , si P =/ 0El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:ERP = ER x 100
Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniendose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución: a) El error de medicion del puente es:

EA = 10 000 - 9 999 = 1cm

y para el remache es de

EA = 10 - 9 = 1cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

y para el remache es de

ERP = 1/10 x 100% = 10%

por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo procentual del remache es mucho m´s grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Resultado de imagen de error absoluto relativo y porcentual

CONCEPTOS TRIGONOMETRICOS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unacircunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes

a \,

b \,

, y la medida de la hipotenusa es

c \,

, se establece que:

$c^2 = a^2 + b^2 \,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

a = \sqrt {c^2 - b^2}

b= \sqrt{c^2-a^2}

c = \sqrt {a^2 + b^2}

USO DE LA CALCULADORA PARA LA RESOLUCION DE RAZONES TRIGONOMETRICAS

En este apartado vamos a trabajar con la calculadora científica. Aprenderemos el uso de las funciones angulares y trigonométricas más elementales y practicaremos con algunos ejercicios sencillos.

Casi todas las calculadoras científicas de uso escolar tienen unas características similares y en su manejo se aprecian muy pocas diferencias. Nosotros vamos a referirnos al uso de los modelos actuales que más extendidos están en el mercado, pero es importante que:

sigas las pautas que te damos para resolver los ejercicios;
compruebes si tu calculadora trabaja de esa manera o tienes que hacer alguna modificación, bien sea en el orden en que debes introducir los datos o una nomenclatura diferente;
consultes el manual de instrucciones de tu calculadora.

Aquí te mostramos la parte del teclado de la calculadora que vas a tener que utilizar de una manera específica para los ejercicios con razones trigonométricas.

En primer lugar debes fijarte en el modo de la unidad angular en la que estés trabajando. Generalmente, la unidad por omisión es el grado sexagesimal. Comprueba que en la pantalla de la calculadora aparezca la letra D o DEG.
En caso contrario deberás pulsar la secuencia de teclas

y elegir DEG para trabajar con grados sexagesimales.

Razones trigonométricas de un ángulo

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo, pulsa la tecla correspondiente

y después el valor del ángulo.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Magnitudes escalares:

Las magnitudes escalares tienen únicamente como variable a un número que representa una determinada cantidad. Por ejemplo la masa de un cuerpo, que se mide en Kilogramos.

Magnitudes vectoriales:

En muchos casos las magnitudes escalares no dan información completa sobre una propiedad física. Por ejemplo una fuerza de determinado valor puede estar aplicada sobre un cuerpo en diferentes sentidos y direcciones. Tenemos entonces las magnitudes vectoriales que, como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad y la fuerza.

Según el modelo físico con el que estemos trabajando utilizamos vectores con diferente número de componentes. Los más comunes son los de una, dos y tres coordenadas que permiten indicar puntos en la recta, en el plano y en el espacio respectivamente.

En el apartado de matemática puedes consultar las operaciones con vectores más utilizadas (suma, resta, producto escalar, producto vectorial, etc).

SUMA DEVECTORES

Para sumar dos vectores libres vector

se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

METODO GRAFICO

Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo

= 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante V_R, es la suma de los vectores V₁ y V₂, o sea, escribimos V_R = V₁ + V₂ Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:
(1) Use una misma escala para las magnitudes.
(2) Trace uno de los vectores, digamos V₁
(3) Trace el segundo vector, V₂, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.
(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.
Notemos que V₁ + V₂ = V₂ + V₁, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V₁, V₂, y V₃ representados a continuación:

V_R = V₁ + V₂ +V₃ es el vector resultante destacado con línea gruesa.

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

METODO ANALITICO

La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial V_x y sobre el eje y la componente vectorial V_y.

Notemos que V = V_x + V_y de acuerdo al método del paralelógramo.

Las magnitudes de V_x y V_y, o sea V_x y V_y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que V_y = Vsen